Question

Небольшое тело брошено с горизонтальной скоростью V0 с высоты Н над горизонтальной плоскостью стола со специальным покрытием. Объемные и поверхностные свойства стола таковы, что при каждом ударе тела вертикальная компонента скорости, оставаясь неизменной по величине, изменяет направление на противоположное, а горизонтальная компонента скорости уменьшается в два раза. На какое максимальное расстояние L вдоль горизонта удалится тело от точки первого удала? Ускорение свободного падения g.

Answer 1

1)Решим сперва след задачу. Подбросим тело вертикально вверх со скоростью v, какое время тело будет находиться в полете?

решение: h=vt-gt^2/2 , тело приземлится при h=0 =>

vt-gt^2/2=0 => $t=<var>frac{2v}{g}</var>$

2) Теперь к нашей задаче. Поскольку вертикальная составляющая скорости не меняется после удара со столом, значит при каждом ударе она будет постоянной! то есть как будто каждый раз тело подбрасывают вверх с одной и той же скоростью v

эта скорость находится из условия, что тело сбросили с высоты H из закона сохранения энергии: mgH=mv^2/2 => $v=<var>sqrt{2gH}</var>$

Значи тело будет в полете после каждого удара находиться время $t=<var>frac{2sqrt{2gH}}{g}</var>$

Горизонтальная составляющая скорости уменьшается после удара в 2 раза,

значит тело будет пролетать участки длиной l=t*v(горизонтальная)

поосле первого соударения с землей v(горизонтальная)=v0/2

Так что l1=t*v0/2     l2=t*v0/4 и т.д. Это геометрическая прогрессия.

сумма её членов L= l1 +l2+... = t*v0

Ответ: $L=<var>frac{2*v0sqrt{2gH}}{g}</var>$