Question

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Чему равен острый угол трапеции, если точка касания делит боковую сторону на отрезки, отношение длин которых равно 3 : 1?

Answer 1

трапеция АВСД, АВ=СД, уголА=уголД, уголВ=уголС, М-точка касания окружности на АВ, Р-на ВС, Т-на СД, Е- на АД, СТ/ДТ=1/3=1х/3х, ЕД=ДТ-как касательные проведенные из одной точки= 3х, АЕ=АМ-как касательные... АЕ=АМ=ЕД=3х( т.к углы А=уголД, то и касательные равны), СТ=СР=х- как касательные..., ВР=МР=х-как касательные (уголВ=уголС, тогда ВР=РС), ВС=ВР+РС=х+х=2х,

проводим высоту СК на АД, ЕРСК прямоугольник РС=ЕК=х, КД=ЕД-ЕК=3х-х=2х, СД=СТ+ДТ=х+3х=4х, треугольник КСД прямоугольный , катет КД=1/2гипотенузыСД, значит угол КСД=30, тогда уголД=90-30=60=уголА, уголВ=уголС=180-60=120