Question

Решите пожалуйста задачу: к плоскости правильного треугольника АВС из вершины А проведён перпендикуляр АД, равный 12 см. Точка Д удалена от стороны ВС на 13 см. Вычислите площадь треугольника АВС.

Answer 1

Чтобы найти площадь правильного треугольника, достаточно узнать его сторону.
Рассмотри треугольники АДВ и АДС - они прямоугольные (так как АД - перпендикуляр к плоскости АВС), АД - общая сторона, АВ=АС (так как треугольник АВС - правильный). Значит треугольники АДВ и АДС равны. Значит ДВ = ДС, значит треугольник ДВС - равнобедренный.
Расстояние от Д до ВС - это перпендикуляр из Д, опущенный на ВС (назовем его ДН). Точка Н - середина ВС (так как ДВС - равнобедренный треугольник).
ДН = 13 - по условию.
АН - медиана треугольника АВС (так как Н - середина ВС), значит АН - еще и высота (так как АВС - правильный треугольник).
Рассмотрим треугольник АДН: так как АД - перпендикуляр к плоскости АВС, то АД перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости АВС, значит АД перпендикулярен и АН. Значит АДН - прямоугольный треугольник, АД = 12, ДН = 13. По теореме Пифагора АН = 5 - это высота правильного треугольника.
$h = frac{a sqrt{3} }{2}$ - это связь высоты (h) и стороны (a) в правильном треугольнике. Значит
$5 = frac{AB sqrt{3} }{2}$
$10 =AB sqrt{3}$
$AB = frac{10}{sqrt{3}}$
Зная сторону находим площадь:
$S_{ABC} = frac{AB^2 sqrt{3} }{4} = frac{100 sqrt{3} }{3*4} = frac{25sqrt{3} }{3}$

Ответ: $S_{ABC} =  frac{25sqrt{3} }{3}$