Question

Помогите. Для функции g(x) найдите первообразную график которой пересекается с графиком производной этой функции в точке x0 если g(x)=(3x-2)^1/3   х0=1

Answer 1

$g(x)=(3x-2)^{frac13}; x_0=1;\ G(x)=int{g(x)}dx=int{(3x-2)^{frac13}}dx=int{(3x-2)^{frac13}}frac{d(3x-2)}{3}=\ =frac13cdotint{(3x-2)^{frac13}}d(3x-2)=frac13cdotfrac{1}{frac13+1}cdot(3x-2)^{frac13+1}+C=\ =frac13cdotfrac{1}{frac43}cdot(3x-2)^frac43+C=frac13cdotfrac34cdot(3x-2)^frac43+C=\ =frac14(3x-2)^frac43+C;\ G(x)=frac14(3x-2)^frac43+C;\ g'(x)=((3x-2)^frac13)'=frac13(3x-2)^{frac13-1}cdot(3x-2)'=\ =frac13cdot(3x-2)^{-frac23}cdot3=(3x-2)^{-frac23};$
$G(x_0)=g'(x_0);\ G(1)=g'(1);\ frac14(3x_0-2)^frac43+C=(3x_0-2)^{-frac23};\ frac14(3-2)^frac43+C=(3-2)^{-frac23};\ frac14cdot1^frac43+C=1^{-frac23};\ frac14+C=1;\ C=frac34;\ G(x)=frac14(3x-2)^frac43+frac34;$
$G(x)=frac14sqrt[3]{(3x-2)^4}$