Question

найдите наибольшее и наименьшее значение функции на данном промежутке:

 f(x)=x^2*e^2x  [-2;1]

Answer 1

$f(x)=x^2cdot e^{2x}; [-2;1]\ f'(x)=(x^2cdot e^{2x})'=(x^2)'cdot e^{2x}+x^2cdot (e^{2x})'=\ =2xcdot e^{2x}+x^2cdot2e^{2x}=2xe^{2x}(1+x);\ f'(x)=0;\ 2e^{2x}cdot x(1+x)=0;\ x(1+x)=0;\ x_1=0; x_2=-1;\ f(-2)=(-2)^2cdot e^{2cdot(-2)}=4e^{-4}=frac{4}{e^4};\ f(-1)=(-1)^2cdot e^{2cdot(-1)}=e^{-2}=frac{1}{e^2};\ f(0)=0^2cdot e^{2cdot0}=0cdot e^0=0cdot1=0;\ f(1)=1^2cdot e^{2cdot1}=1cdot e^2=e^2;$
$0<frac1{e^2}; 0<frac4{e^4}; 0<1;\ e^2>0; e^2>frac1{e^2}; e^2>frac4{e^4};\ f_{min}=0;\ f_{max}=e^2.$