Question

Помогите пожалуйста решить задачу: В сегмент параболы y² = 2rх, отсекаемый прямой х = 2а, вписать прямоугольник наибольшей площади (стороны прямоугольника параллельны координатным осям. Заранее спасибо.

Answer 1

Я напишу решение если что будет не ясно спрашивай для удобства построй график не y(x) а x(y) тогда парабола будет четко видна выразим x через y x=y^2/2r это будет парабола в с вершиной в центре координат идущая вверх или вниз без разницы это не повлияет на ответ и проведи параллельную прямую x=2a произв так чтобы она пересекла параболу нарисовала? Теперь положим что горизонтальная сторона прямоуг равна b тогда тк прямоуг будет симметричен отн y тк сама парабола симметрична то сторона делится пополам то есть b/2 а теперь самый важный момент этой задачи который нужно понять (если не поймешь потом обьясню) тогда 2 сторона прямоугольника равна c=2a-x(b/2)=2a-b^2/8r тогда площадь равна b(2a-b^2/8r) найдем теперь максимум этой функции по b на помню что a и r произвольные константы найдем производную (2аb-b^3/8r)'=2a-3b^2/8r и при равняем к нулю 2а-3b^2/8r=0 16ar=3b^2 b=+-4*sqrt(ar/3) наришем эти точки экстремума на оси чтобы отобрать максимум тут будет зависеть от того куда мы направили параболу вниз или вверх тк ответ от этого не меняется мы направили вверх тогда a>0 и r>0 тогда наша точка максимума 4sqrt(ar/3) тогда Макс площадь равна 4sqrt(ar/3)*(2a-16ar/3/8r)=4sqrt(ar/3)(2a-2a/3)= 16/3*a*sqrt(ar/3) вот вроде бы прав ответ

Answer 2

хотя полностью гаронтировать верность этого ответа я не могу

Answer 3

я мог где то ошибиться но в целом сама идея решения правильная

Answer 4

проверь все пожалуйста если поняла идею решения