Question

Найти сумму беск ряда sinx+sin2x/2!+sin3x/2!..........

Answer 1

$sinx+frac{sin2x}{2!}+frac{sin3x}{3!}+frac{sin4x}{4!}+...+frac{sin(nx)}{n!}$
Так как  $e^{ix}=cosx+isinx$, то теперь выражение удобно представим в виде такой форме. 
  Заметим что в ряде Тейлора 
  $e^{ix}=1+frac{x}{1!}+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+...+frac{x^n}{n!}$
  откуда  $e^{e^{ix}}-1=frac{e^{ix}}{1!}+frac{e^{2ix}}{2!}+frac{e^{3ix}}{3!}+...+ frac{e^{nix}}{n!}$
 то есть искомая сумма есть мнимая часть суммы ряда .   
 так как $e^{ix}=cosx+isinx\ e^{cosx+isinx}-1 = (cos(sinx)+isin(sinx))*e^{cosx}-1$ 
   Видна что наша сумма равна 
            $e^{cosx}*sin(sinx)$