Question

Докажите равенство:

$sqrt{23 - 8 sqrt{7}}=4 -sqrt{7}$ 

Answer 1

1) $sqrt{23-8sqrt7}=sqrt{23-sqrt{8^2cdot7}}=$

 

$=sqrt{frac{23+sqrt{23^2-448}}{2}}-sqrt{frac{23-sqrt{23^2-448}}{2}}=$

 

$sqrt{frac{23+sqrt{81}}{2}}-sqrt{frac{23-sqrt{81}}{2}}=sqrt{frac{23+9}{2}}-sqrt{frac{23-9}{2}}=sqrt{16}-sqrt{7}=4-sqrt{7}$.

 

2) $sqrt{23-8sqrt7}=sqrt{(4^2+7)-2 cdot4 cdot sqrt{7}}=$

 

$=sqrt{4^2-2cdot4cdotsqrt{7}+(sqrt{7})^2}=sqrt{(4-sqrt{7})^2}=4-sqrt{7}$.