Question

При каких значениях параметра а заданная функция имеет одну стационарную точку:
y=x³-3ax²+27x-5

Answer 1

Стационарная точка - точка, в которой производная равна нулю. Считаем производную: y' = 3x^2 - 6ax+27.
y'=0, значит:
3x^2 - 6ax+27 = 0
x^2 - 2ax + 9 = 0
Получили квадратное уравнение. А надо, чтобы была одна стационарная точка, то есть у уравнения был только один корень. Один корень может быть только тогда, когда дискриминант равен нулю:
D = 4a^2 - 36 = 0
4a^2 = 36
a^2 = 9
a = 3, a = -3.

Ответ: при а = 3 и а = -3.