Question

В ромбе ABCD A1,B1,C1 и D1-середины его сторон(AB,BC,CD,AD СООТВЕТСВЕННО). Докажите,что ABCD-квадрат,если угол A1C1B1=45 градусов

Answer 1

В треугольнике DAB A1D1 - средняя линия => A1D1 параллельна диагонали ромба BD, также в треугольнике ABC A1B1 - средняя линия параллельная диагонали ромба AC. 
т.к. диагонали ромба ⊥ то и прямая A1D1⊥A1B1 => A1B1C1D1 - прямоугольник, но так как в треугольнике A1B1C1 угол A1C1B1=45, то A1B1 = B1C1 => A1B1C1D1 - квадрат. а т.к. среднии линии равны A1B1 = B1C1, то и основания соответствующих треугольников тоже равны, т.е. AC = BD = > диагонали ромба равны, а диагонали ромба могут быть равны только если это квадрат. ч.т.д.