Question

Найдите остаток от деления суммы 33^33 + 77^77 на 10

Answer 1

Рассмотрим последние цифры степеней чисел 3 и 7 (очевидно, степени чисел 33 и 77 оканчиваются на те же цифры; в таблице последняя цифра числа x обозначена как x mod 10):

$begin{array}{c|c|c}n&3^nmod 10&7^nmod 10\0 & 1 & 1\1 & 3 & 7\2 & 9 & 9\3 & 7 & 3\4 & 1 & 1end{array}$

Дальше таблицу можно не продолжать: поскольку последняя цифра степени определяется только последней цифрой предыдущей степени, то дальше всё будет повторяться: например, для степеней тройки дальше идут 3, 9, 7, 1, 3, 9, ... Таким образом, последовательность последних цифр степеней тройки и семёрки является периодической с периодом 4, то есть прибавление любого количества четвёрок к показателю степени последнюю цифру не меняет.

$33 = 1+8cdot4$, поэтому $33^{33}$ оканчивается на ту же цифру, что и $3^1$, то есть на 3. $77 =1+19cdot4$, поэтому $77^{77}$ оканчивается на ту же цифру, что и $7^1$, то есть на 7. Значит, сумма $33^{33}+77^{77}$ оканчивается на ту же цифру, что и $3+7=10$, то есть на 0. Искомый остаток равен нулю.

Ответ. 0