Question

докажите что сумма медиан треугольника меньше его периметра

Answer 1

                            Решение : ///////////////////////////

Answer 2

Обозначим медианы, проведенные к сторонам AC; BC и AB через $m_a,~ m_b$ и $m_c$. Достроим наш треугольник ABC до параллелограмма BACD.

Рассмотрим треугольник ABD: $sf AD = 2AE = 2m_b$

Используем неравенство треугольника, получаем:

$AD<AB+BD~~~Leftrightarrow~~~2m_b<AB+AC~~~~[BD=AC]$

откуда $m_b<dfrac{AB+AC}{2}$

Аналогично имеют места следующие неравенства:

$m_a<dfrac{BC+AB}{2};~~~~ m_c<dfrac{BC+AC}{2}$

Сложив три неравенства, получим:

$m_b+m_a+m_c<dfrac{2BC+2AB+2AC}{2}\ \ \ m_a+m_b+m_c<BC+AB+AC$

Что и требовалось доказать!