Решите задачу Архимеда — найдите массу золота (в г) в короне, изготовленной из сплава золота с серебром. Вес короны в воздухе 25,4 Н, в воде — 23,4 Н. Плотность золота 19,3 г/см3, серебра — 10,5 г/см3. Пжл с подробным решением, не с помощью ИИ!
Ответы
Ответ:ля решения задачи воспользуемся принципом Архимеда, который гласит, что вес поднятой наименее плотной жидкостью части тела равен весу вытесненной жидкости.
Понятно, что корона будет вытеснять массу воды, равную ее объему в воздухе и в воде. Обозначим массу золота в короне как m_з и массу серебра как m_с.
Объем короны в воздухе равен:
V_возд = m_з/ρ_з + m_с/ρ_с,
где ρ_з - плотность золота, а ρ_с - плотность серебра.
Объем короны в воде равен:
V_вод = m_з/ρ_возд + m_с/ρ_возд,
где ρ_возд - плотность воздуха.
Таким образом, масса вытесненной короной воды равна:
m_вод = ρ_возд * V_вод = ρ_возд * (m_з/ρ_з + m_с/ρ_с).
Согласно принципу Архимеда, масса вытесненной короной воды также равна разности массы короны в воздухе и в воде:
m_вод = m_возд - m_вод,
где m_возд - масса короны в воздухе, m_возд = 25,4 г и m_вод - масса короны в воде, m_вод = 23,4 г.
Подставим известные значения и получим уравнение:
ρ_возд * (m_з/ρ_з + m_с/ρ_с) = m_возд - m_вод.
Разделим уравнение на ρ_возд и выразим m_з, учитывая, что ρ_возд = 1 г/см3:
m_з/ρ_з + m_с/ρ_с = (m_возд - m_вод)/ρ_возд.
Теперь остается решить систему уравнений для m_з и m_с.
Известно, что плотность сплава равна среднегеометрической плотностей золота и серебра:
ρ = √(ρ_з * ρ_с).
Тогда можно составить систему уравнений:
m_з/ρ_з + m_с/ρ_с = (m_возд - m_вод)/ρ_возд,
(1)
m_з + m_с = m_возд.
(2)
Разделим первое уравнение системы на ρ и выразим m_с, учитывая, что ρ = 19,3 * 10,5 г/см3:
m_з/ρ_з * ρ/ρ_с + m_с/ρ_с = (m_возд - m_вод)/ρ_возд * ρ/ρ_с.
Таким образом, система уравнений станет:
m_з/ρ + m_с/ρ_с = (m_возд - m_вод)/ρ_возд * ρ/ρ_с,
(3)
m_з + m_с = m_возд.
(4)
Подставим значения плотностей и имеющиеся массы в уравнения системы и решим ее.
Примем значения:
ρ_з = 19,3 г/см3,
ρ_с = 10,5 г/см3,
m_возд = 25,4 г,
m_вод = 23,4 г.
Подставляем значения в уравнения (3) и (4):
m_з/(19,3 * 10,5) + m_с/10,5 = (25,4 - 23,4)/1 * 19,3,
(5)
m_з + m_с = 25,4.
(6)
Решаем систему уравнений (5) и (6):
m_з/(203.85) + m_с/10,5 = 2.0,
(7)
m_з + m_с = 25,4.
(8)
Умножаем уравнение (7) на 10,5:
10,5 * m_з/(203.85) + m_с = 21.0.
Вычитаем уравнение (8) из уравнения (7):
10,5 * m_з/(203.85) - m_з = 21.0 - 25.4,
-0.051 * m_з = -4.4.
Решаем получившееся уравнение:
m_з ≈ (-4.4) / (-0.051) ≈ 86.27 г.
Округлим результат до сотых:
m_з ≈ 86.27 г.
Таким образом, масса золота в короне равна примерно 86.27 г.
Объяснение: