Question

Сторона АВ рівностороннього трикутника АВС належить площині а. До площини а проведено перпендикуляр СО. Відстань від точки О до прямої АВ дорівнюе 3✓3 см. площа трикутника АВС дорівнює 36✓3 см^2. Знайдіть кут між площинами АВС і а​

Answer 1

Ответ:

66.42∘

Объяснение:

Спочатку знайдемо довжину сторони АВ за формулою площі рівностороннього трикутника:

SABC​=3/4 ​​a^2

a=(4SABC)/$\sqrt{3}$​​​=(4⋅36$\sqrt{3}$​​​)/$\sqrt{3}$=12 см

Тепер знайдемо довжину відрізка ОD, який є проекцією точки О на пряму АВ. Для цього скористаємося теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ОDB:

OD²+BD²=OB²

OD²+(a/2​)²=(a$\sqrt{3}$/2​​)²

OD²+36=108

OD=72​=62​ см

Тепер знайдемо кут між площинами АВС і а за допомогою теореми косинусів в трикутнику ОDC, де С - центр трикутника АВС:

cosα=(OC2+OD2−CD2​)/2⋅OC²*OD

cosα=​(a$\sqrt{6}$​​)²+(6$\sqrt{2}$​)²−((a$\sqrt{2}$​​)/2)²​ / 2⋅(a$\sqrt{6}$​​)/3⋅6$\sqrt{2}$

cosα=(24+72−36)/48​=5​/12

α=arccos5/12​≈66.42∘