Question

Дана функция f(x)=x корень x+ 2 корень 2 / корень х + корень 2
а) покажите что f(x) = x + (ax)^1/2 + b, где а, b постоянные
б) найдите f'(x)

Answer 1

Ответ:

а)  a= 2, b = 2;

b) $f'(x) =1- \dfrac{1}{\sqrt{2x} } ;$

c) f' (2) =0,5.

Объяснение:

Дана функция

$f(x)= \dfrac{x\sqrt{x} +2\sqrt{2} }{\sqrt{x} +\sqrt{2} } ,x > 0$

а) Показать, что

$f(x)= x-(ax)^{\frac{1}{2} } +b ,$   где a, b - постоянные ( исправленное условие).

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

a³ +b³ = ( a+b)(a²-ab+b²)

$f(x)= \dfrac{x\sqrt{x} +2\sqrt{2} }{\sqrt{x} +\sqrt{2} } = \dfrac{(\sqrt{x} )^{2} \cdot\sqrt{x} +(\sqrt{2} )^{2}\cdot \sqrt{2} }{\sqrt{x} +\sqrt{2} }= \dfrac{(\sqrt{x} )^{3} +(\sqrt{2})^{3} }{\sqrt{x} +\sqrt{2} }=\\\\= \dfrac{(\sqrt{x} +\sqrt{2})((\sqrt{x} )^{2}-\sqrt{x} \cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2} )^{2}) }{\sqrt{x} +\sqrt{2} }=x-\sqrt{2x} +2= x -(2x)^{\frac{1}{2} } +2.$

Тогда a= 2, b = 2.

b) Найти f' (x)

$f'(x) =( x- ( 2x) ^{\frac{1}{2} } +2)' = 1 -\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x} } =1- \dfrac{1}{\sqrt{2x} } .$

c) Вычислить

$f'(2) = 1-\dfrac{1}{\sqrt{2\cdot 2} } =1-\dfrac{1}{\sqrt{4} } =1-\dfrac{1}{2} =1-0,5=0,5.$

#SPJ1