Question

Известно, что в геометрической прогрессии разность четвертого и второго членов равна (-24), а разность пятого и третьего членов равна (4,8). Найдите первый член данной прогрессии и знаменатель.

Answer 1

Пусть первый член прогрессии равен a , а знаменатель равен q.

Тогда, по определению геометрической прогрессии:

второй член равен a*q,

третий член равен a*q^2,

четвертый член равен a*q^3,

пятый член равен a*q^4.

По условию, разность четвертого и второго членов равна (-24), то есть a*q^3 - a*q = -24.  --- (1)

А разность пятого и третьего членов равна (4,8), то есть a*q^4 - a*q^2 = 4,8.  --- (2)

Выразим a из первого уравнения: a = -24 / (q^3 - q).  --- (3)

Подставим a из (3) во второе уравнение:

(-24 / (q^3 - q)) * q^4 - (-24 / (q^3 - q)) * q^2 = 4,8.

Упростим эту формулу:

-24*q - 24*q^3 = 4,8 * (q^3 - q).

Раскроем скобки:

-24*q - 24*q^3 = 4,8*q^3 - 4,8*q.

Переносим все слагаемые влево:

-24*q - 24*q^3 - 4,8*q^3 + 4,8*q = 0.

Объединяем подобные слагаемые:

-24*q - 24*q^3 - 4,8*q^3 + 4,8*q = -19,2*q - 19,2*q^3 = 0.

Делим всю формулу на -19,2:

q + q^3 = 0.

Раскрываем скобки:

q + q*q*q = 0.

Приводим подобные слагаемые:

q^3 + q = 0.

Применяем формулу разности кубов:

q*(q^2 - 1) = 0.

Факторизуем:

q*(q+1)(q-1) = 0.

Получили три значения q: q1 = 0, q2 = -1, q3 = 1.

Подставим q в формулу (3), чтобы найти соответствующие значения a:

q1 = 0: a = -24 / (0^3 - 0) = -24 / 0 (неопределенность)

q2 = -1: a = -24 / ((-1)^3 - (-1)) = -24 / (-1 + 1) = -24 / 0 (неопределенность)

q3 = 1: a = -24 / (1^3 - 1) = -24 / 0 (неопределенность)

Таким образом, решений у данной задачи нет.

Answer 2

Ответ: b₁=-125,  q=-0,2.

Объяснение:

$\displaystyle\\\left \{ {{b_4-b_2=-24} \atop {b_5-b_3=4,8}} \right.\ \ \ \ \ \ \left \{ {{b_1q^3-b_1q=-24} \atop {b_1q^4-b_1q^2=4,8}} \right. \ \ \ \ \ \ \left \{ {{b_1q*(q^2-1)=-24\ \ \ \ \ \ (1)} \atop {b_1q^2*(q^2-1)=4,8\ \ \ \ \ \ (2)}} \right.$

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$q=-0,2\\\\b_1*(-0,2)*((-0,2)^2-1)=-24\\\\-0,2b_1*(0,04-1)=-24\\\\-0,2b_1*(-0,96)=-24\\\\0,192b_1=-24\ |:0,192\\\\b_1=-125.$