1. Решите уравнения:
a) sin 3x = 1
6) 1 – 4sinx cosx=0
B) cosx-cos 3x = cos 2x-cos 4x
Ответы
Объяснение:
a) Решим уравнение \( \sin(3x) = 1 \). Для этого найдем угол, чей синус равен 1. Это угол \( \frac{\pi}{2} \).
\[ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Теперь выразим \( x \):
\[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \]
6) Решим уравнение \( 1 - 4\sin(x)\cos(x) = 0 \). Факторизуем:
\[ 1 - 2\sin(2x) = 0 \]
Теперь решим уравнение \( \sin(2x) = \frac{1}{2} \). Это происходит при \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \) - целое число.
b) Решим уравнение \( \cos(x) - \cos(3x) = \cos(2x) - \cos(4x) \). Воспользуемся формулами разности и суммы косинусов:
\[ \cos(x) - (\cos(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x)) = (\cos^2(x) - \sin^2(x)) - (\cos^2(2x) - \sin^2(2x)) \]
Сокращаем:
\[ -\sin(x)\sin(2x) = -2\sin^2(2x) \]
Решим уравнение:
\[ \sin(x)\sin(2x) = 2\sin^2(2x) \]
Учитывая, что \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), получим:
\[ \sin(x) \cdot 2\sin(x)\cos(x) = 2 \cdot (2\sin(x)\cos(x))^2 \]
\[ 2\sin^2(x)\cos(x) = 8\sin^2(x)\cos^2(x) \]
Сокращаем на \(2\sin^2(x)\cos(x)\):
\[ 1 = 4\cos(x) \]
Теперь решим уравнение:
\[ \cos(x) = \frac{1}{4} \]
Это происходит при \( x = \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n \), где \( n \) - целое число.