1. Найдите решение уравнения 2cosx sinx - sin x - 0 на промежутке (0; 180°).
2. Определите, имеют ли решения следующие неравенства:
a) sin > VLi,
b) ctgx ≥> V3;
Решите неравенства, имеющие решение.
c) cosx < - v3.
3. Решите уравнение: 2sin?x + sinxcosx - 3cos x = 0.
Ответы
Объяснение:
1. Решим уравнение \(2\cos(x)\sin(x) - \sin(x) = 0\) на промежутке \((0, 180^\circ)\):
\[ \sin(x)(2\cos(x) - 1) = 0 \]
Это уравнение имеет два множителя, их равенство нулю приводит к решениям:
a) \(\sin(x) = 0\) при \(x = 0^\circ\);
b) \(2\cos(x) - 1 = 0\), отсюда \(\cos(x) = \frac{1}{2}\). Это происходит при \(x = 60^\circ\) и \(x = 300^\circ\).
Итак, решения уравнения на интервале \((0, 180^\circ)\): \(x = 0^\circ, 60^\circ, 300^\circ\).
2. Неравенства:
a) \(\sin(x) > \sqrt{3}\) не имеет решений, так как максимальное значение \(\sin(x)\) равно 1.
b) \(\cot(x) \geq \sqrt{3}\). \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\), а \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). Условие \(\cot(x) \geq \sqrt{3}\) означает \(\frac{\cos(x)}{\sin(x)} \geq \sqrt{3}\). Решив это неравенство, получим \(0 < x \leq 30^\circ\) и \(60^\circ < x \leq 90^\circ\).
c) \(\cos(x) < -\sqrt{3}\) не имеет решений, так как \(\cos(x)\) лежит в пределах от -1 до 1.
3. Решим уравнение \(2\sin^2(x) + \sin(x)\cos(x) - 3\cos(x) = 0\):
\[ 2\sin(x)(\sin(x) + \cos(x)) - 3\cos(x) = 0 \]
Факторизуем:
\[ \cos(x)(2\sin(x) - 3) + \sin(x)(2\sin(x) - 3) = 0 \]
Это уравнение имеет два множителя:
a) \(\cos(x) = \frac{3}{2}\) не имеет решений;
b) \(2\sin(x) - 3 = 0\) дает \(\sin(x) = \frac{3}{2}\), что также не имеет решений.
Таким образом, уравнение не имеет решений.