решить уравнение y'x+2y=x^3 (x≠0)
Ответы
Ответ: Чтобы решить данное дифференциальное уравнение первого порядка, можно использовать метод интегрирующего множителя. Давайте начнем:
1. Найдем интегрирующий множитель μ(x). Для этого умножим уравнение на μ(x):
μ(x) * y' + 2μ(x) * y = x^3 * μ(x)
2. Затем попытаемся выбрать μ(x) таким образом, чтобы левая часть уравнения стала полной производной некоторой функции. В данном случае у нас есть y' и y, поэтому нам понадобится μ(x), которая является производной некоторой функции от x. Попробуем использовать μ(x) = e^(2x), поскольку производная e^(2x) равна 2e^(2x), что соответствует коэффициенту при y.
3. Умножим уравнение на выбранную μ(x):
e^(2x) * y' + 2e^(2x) * y = x^3 * e^(2x)
4. Теперь мы можем заметить, что левая часть является производной от (e^(2x) * y) по x:
d/dx (e^(2x) * y) = x^3 * e^(2x)
5. Проинтегрируем обе стороны по x:
∫ d/dx (e^(2x) * y) dx = ∫ x^3 * e^(2x) dx
Получим:
e^(2x) * y = ∫ x^3 * e^(2x) dx
6. Вычислим интеграл на правой стороне. Для этого воспользуемся методом интегрирования по частям несколько раз:
Проведем четыре итерации:
∫ u*dv = uv - ∫ v*du
u = x^3, dv = e^(2x) dx
du = 3x^2 dx, v = (1/2)e^(2x)
Получим:
e^(2x) * y = (1/2)e^(2x) * x^3 - ∫ (1/2)e^(2x) * 3x^2 dx
= (1/2)e^(2x) * x^3 - (3/2) * ∫ x^2 * e^(2x) dx
Проведя интегрирование по частям еще раз, получим:
∫ x^2 * e^(2x) dx:
u = x^2, dv = e^(2x) dx
du = 2x dx, v = (1/2)e^(2x)
Таким образом:
e^(2x) * y = (1/2)e^(2x) * x^3 - (3/2) * [(1/2)e^(2x) * x^2 - ∫ (1/2)e^(2x) * 2x dx]
= (1/2)e^(2x) * x^3 - (3/2) * [(1/2)e^(2x) * x^2 - ∫ e^(2x) * x dx]
Продолжая аналогичные шаги, мы получим:
e^(2x) * y = (1/2)e^(2x) * x^3 - (3/2) * [(1/2)e^(2x) * x^2 - e^(2x) * (x - 1/2) - ∫ e^(2x) dx]
= (1/2)e^(2x) * x^3 - (3/2) * [(1/2)e^(2x) * x^2 - e^(2x) * (x - 1/2) - (1/2)e^(2x)]
Пошаговое объяснение: