Question

Пусть X — непустое множество, а T_1, T_2 — две топологии на X где T_1 \subset T_2, такие что X снабжены этими топологии представляет собой компактное хаусдорфово пространство. Докажите, что T_1 = T_2

Answer 1

Сначала мы покажем, что любая непрерывная биекция $f:X\rightarrow Y$ из компакта в пространство $T_2$ является гомеоморфизмом. Достаточно показать, что $f$ замкнут. Это просто: пусть $A\subset X$ замкнуто. Тогда $A$ компактно, следовательно, $f(A)\subset Y$ компактно. А компакты в пространстве $T_2$ замкнуты. Теперь рассмотрим тождественное отображение $f:(X,T_2)\rightarrow (X,T_1)$. Оно непрерывно, поскольку $T_1\subset T_2$, и отсюда следует результат