Question

Докажите что четырёхугольник ABCD является ромбом, если А ( 2;1;2), В ( 0;1;6), С ( 2;5;6), D( 0;5;2)

Answer 1

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Признак параллелограмма: "Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
Определим координаты векторов АВ и CD (противоположные стороны четырехугольника).
Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА. Тогда вектор АВ{0-2;1-1;6-2} или АВ{-2;0;4}, а вектор
CD{0-2;5-5;2-6} или CD{-2;0;-4}.
Найдем модуль (длину) векторов АВ и СD.
Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.
|AB|=√(4+0+16)=√20.
|CD|=√(4+0+16)=√20.
Итак, стороны АВ и CD четырехугольника равны.
Рассмотрим противоположные стороны ВС и АD.
Вектор ВС{2;4;0}, а вектор AD{-2;4;0}
|BC|=√(4+16+0)=√20.
|AD|=√(4+16+0)=√20.
Итак, стороны ВС и АD четырехугольника равны.
Так как противоположные стороны четырехугольника АВСD попарно равны, это параллелограмм.
Но все четыре стороны этого параллелограмма равны. Следовательно, это ромб. Что и требовалось доказать.

P.S. Надо отметить, что в данных (координаты точек) есть ошибка. Координаты точки С должны быть: С(-2;5;6)  а не С(2;5;6)
Два вектора коллинеарны (параллельны), если отношения их координат равны.
Если мы проверим вектора АВ и CD (ВС и AD) на параллельность с координатами, данными в условии,, то
Xab/Xcd=1; Zab/Zcd=-1, то есть вектора НЕ параллельны?
При координатах А(2;1;2), В(0;1;6), С(-2;5;6), D(0;5;2).
AB{-2;0;4}, CD{2;0;-4} Тогда отношение координат равно -1 и все хорошо, вектора параллельны. Так же и с векторами ВС и AD:
ВС{-2;4;0}, AD{-2;4;0}. Отношение координат равно 1. Все в порядке. Стороны попарно равны и параллельны.