Предмет: Алгебра, автор: romanovskijigor0

Найдите количество натуральных чисел, не превосходящих 105⋅165
и удовлетворяющих системе сравнений

{x≡1(mod105)
{x≡1(mod165).

Ответы

Автор ответа: axatar
1

Ответ:

Всего 14

Объяснение:

Требуется определить количество натуральных чисел, не превосходящих 105⋅165 и удовлетворяющих системе сравнений

\tt \displaystyle \left \{ {{x \equiv 1 (mod 105)} \atop {x \equiv 1 (mod 165)}} \right. .

Решение. Нам нужно определить количество натуральных чисел, не превосходящих 105⋅165 = 17325 и удовлетворяющих системе сравнений, приведённой выше. Отметим, что х = 1 удовлетворяет систему сравнений, приведённой выше.

Разложим числа 105 и 165 на простые множители:

105 = 3·5·7, 165 = 3·5·11,

и вычислим НОК(105; 165) = 3·5·7·11 = 1155.

Значит, натуральные числа M, которые удовлетворяют систему сравнений, приведённой выше, представимы в виде

M = 1155·k+1, где k = 0, 1, ...

Решим неравенство

M ≤ 17325

1155·k+1 ≤ 17325

1155·k ≤ 17324

k ≤ 17324:1155

\tt k \leq 14 \dfrac{1154}{1155}.

Так как k целое число, то k = 14.

#SPJ1

Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: dasha867494