Question

Решить СЛУ матричным методом быстро и рационально

Answer 1

Найдём все миноры

$M_{11}=\begin{vmatrix} 3&-1 \\ -5&-4 \end{vmatrix}=-17, \; M_{12}=\begin{vmatrix}1 &-1 \\ 3&-4 \end{vmatrix}=-1, \; M_{13}=\begin{vmatrix}1 &3 \\ 3& -5\end{vmatrix}=-14\\M_{21}=\begin{vmatrix} 2& -5\\ -5&-4 \end{matrix}=-33, \; M_{22}=\begin{vmatrix} 6& -5\\ 3&-4 \end{vmatrix}=-9, \; M_{23}=\begin{vmatrix}6 & 2\\ 3&-5 \end{vmatrix}=-36$$M_{31}=\begin{vmatrix}2 &-5 \\ 3& -1\end{vmatrix}=13, \; M_{32}=\begin{vmatrix}6 &-5 \\ 1&-1 \end{vmatrix}=-1, \; M_{33}=\begin{vmatrix} 6& 2\\ 1& 3\end{vmatrix}=16$

Матрица алгебраических дополнений и транспонированная матрица алгебраических дополнений

$C=\begin{pmatrix}-17 & 1 &-14 \\ 33& -9 &36 \\ 13&1 & 16\end{pmatrix}\Rightarrow C^T=\begin{pmatrix}-17 & 33 &13 \\ 1& -9 &1 \\ -14&36 & 16\end{pmatrix}\\\det A=\begin{vmatrix}6 &2 &-5 \\ 1& 3 & -1\\ 3& -5 &-4 \end{vmatrix}=-72-6+25+45-30+8=-30$

Решения

$A^{-1}=\frac{C^T}{\det A}=\begin{pmatrix}17/30 & -11/10 & -13/30\\ -1/30 & 3/10 &-1/30 \\ 7/15& -6/5 & -8/15\end{pmatrix}\Rightarrow X=\begin{pmatrix}17/30 & -11/10 & -13/30\\ -1/30 & 3/10 &-1/30 \\ 7/15& -6/5 & -8/15\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\ -10\\ 25\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}17/30\cdot 5-11/10(-10)-13/30\cdot 25\\ -1/30\cdot 5+3/10(-10)-1/30\cdot 25\\ 7/15\cdot 5-6/5(-10)-8/15\cdot 25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17/6+11-65/6\\ -1/6-3-5/6\\ 7/3+12-40/3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ -4\\ 1\end{pmatrix}$