Question

2. Решите уравнение с помощью универсальной тригонометрической подстановки: ​

Answer 1

Ответ:

Универсальная тригонометрическая подстановка :

$\displaystyle \bf t=tg\dfrac{x}{2}\ \ \Rightarrow \ \ \ sinx=\frac{2t}{1+t^2}\ \ ,\ \ \ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}$  

Решить уравнение .  

$\displaystyle \bf cosx+tg^2\frac{x}{2}=1\\\\t=tg\frac{x}{2}\ \ ,\ \ \ \frac{1-t^2}{1+t^2}+t^2=1\ \ ,\ \ \ \frac{1-t^2+t^2+t^4}{1+t^2}=1\ \ ,\\\\\\1+t^4=1+t^2\ \ \ ,\ \ \ t^4-t^2=0\ \ \ ,\ \ \ t^2\, (t-1)(t+1)=0\ \ ,\\\\t_1=0\ ,\ \ t_2=-1\ \ ,\ \ t_3=1$                      

Вернёмся к старой переменной .

$\displaystyle \bf a)\ \ tg\frac{x}{2}=0\ \ ,\ \ \frac{x}{2}=\pi n\ \ \ ,\ \ \ x=2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ tg\frac{x}{2}=-1\ \ ,\ \ \ \frac{x}{2}=-\frac{\pi }{4}+\pi n\ \ ,\ \ x=\frac{\pi }{2}+2\pi n\ \ ,\ \ \n\in Z\\\\c)\ \ tg\frac{x}{2}=1\ \ ,\ \ \ \frac{x}{2}=-\frac{\pi }{4}+\pi n\ \ ,\ \ \ x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z$            

Серии решений b) и с) можно объединить и записать :

$\bf x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z$          

Ответ:  $\bf x=2\pi n\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z$   .