Question

1. Решите уравнение
cos 2x + cos 6x=1-2 cos²x.​

Answer 1

Ответ:

Тригонометрическое уравнение .

$\bf cos2x+cos6x=1-2cos^2x$  

Упростим выражение в правой части равенства, применив основное

тригонометрическое тождество :  $\bf sin^2x+cos^2x=1\ \ \Rightarrow$  

$\bf sin^2x=1-cos^2x\ \ .\\\\1-2cos^2x=1-cos^2x-cos^2x=sin^2x-cos^2x=-(cos^2x-sin^2x)=-cos2x$

Уравнение примет вид :

$\bf cos2x+cos6x=-cos2x\\\\{}\ \ \star \ \ cos\alpha +cos\beta =2\cdot cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha -\beta }{2}\ \ \star \\\\2\cdot cos4x\cdot cos2x=-cos2x\\\\cos2x\cdot (2\, cos4x+1)=0\\\\a)\ \ cos2x=0\ \ ,\ \ 2x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ \ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ cos4x=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ 4x=\pm \dfrac{2\pi }{3}+2\pi n\ \ ,\ \ x=\pm \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi n}{2}\ \ ,\ \ n\in Z$  

$\bf Otvet:\ \ x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ x=\pm \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi n}{2}\ \ ,\ \ n\in Z$