Теплохід пройшов 35 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотній шлях на 1 годину більше. Швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.
1) Скільки часу витратив теплохід на подорож проти течії річки, якщо власна швидкість теплоходу x км/год?
a.
35/2−x
b.
35/x−2
c.
35/x+2
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Нехай \(t_1\) - час подорожі теплоходу за течією річки (вниз по течії), а \(t_2\) - час подорожі теплоходу проти течії річки (вгору по течії).
Швидкість теплоходу за течією річки - \(x + 2\) км/год (сума власної швидкості теплоходу та швидкості течії). Теплоход пройшов 35 км, тому:
\[35 = (x + 2) \cdot t_1\]
Тепер, швидкість теплоходу проти течії річки - \(x - 2\) км/год (різниця власної швидкості теплоходу та швидкості течії). На зворотній шлях теплохід витратив на годину більше, тобто \(t_2 = t_1 + 1\). Теплоход пройшов таку ж відстань 35 км:
\[35 = (x - 2) \cdot t_2\]
Підставимо \(t_2 = t_1 + 1\) у друге рівняння:
\[35 = (x - 2) \cdot (t_1 + 1)\]
Розв'яжемо систему рівнянь для \(t_1\) та \(x\).
Спочатку розкладемо останнє рівняння:
\[35 = (x - 2) \cdot (t_1 + 1)\]
\[35 = x \cdot t_1 - 2 \cdot t_1 + x - 2\]
\[x \cdot t_1 - 2 \cdot t_1 + x = 37\]
Тепер використаємо перше рівняння:
\[35 = (x + 2) \cdot t_1\]
Розкладемо його:
\[35 = x \cdot t_1 + 2 \cdot t_1\]
Підставимо вираз \(x \cdot t_1\) з першого рівняння:
\[35 = (x + 2 \cdot t_1) + 2 \cdot t_1\]
Розв'яжемо для \(t_1\):
\[35 = x + 4 \cdot t_1\]
\[4 \cdot t_1 = 35 - x\]
\[t_1 = \frac{35 - x}{4}\]
Отже, ми отримали, що час подорожі теплоходу за течією річки \(t_1\) дорівнює \(\frac{35 - x}{4}\).
Тепер, виразимо \(t_2\):
\[t_2 = t_1 + 1\]
\[t_2 = \frac{35 - x}{4} + 1\]
Підставимо це в друге рівняння:
\[35 = (x - 2) \cdot t_2\]
\[35 = (x - 2) \cdot \left(\frac{35 - x}{4} + 1\right)\]
Розкладемо та спростимо:
\[140 = (x - 2) \cdot (35 - x + 4)\]
\[140 = (x - 2) \cdot (39 - x)\]
Розкладемо подальше:
\[140 = -x^2 + 41x - 78\]
Помножимо обидві сторони на -1:
\[x^2 - 41x + 78 - 140 = 0\]
\[x^2 - 41x - 62 = 0\]
Тепер розв'яжемо квадратне рівняння для \(x\). Факторизацією або за допомогою квадратного кореня отримаємо:
\[(x - 43)(x + 2) = 0\]
Таким чином, \(x = 43\) або \(x = -2\). Оскільки \(x\) представляє швидкість, від'ємне значення не має сенсу.
Отже, \(x = 43\).
Тепер підставимо \(x\) у вираз для \(t_1\):
\[t_1 = \frac{35 - x}{4}\]
\[t_1 = \frac{35 - 43}{4}\]
\[t_1 = \frac{-8}{4}\]
\[t_1 = -2\]
Відповідь: Теплохід витратив 2 години на подорож проти течії річки. Тепер підставимо це значення у варіанти відповідей:
a. \(35/2 - x\) = \(35/2 - 43\) = \(-41.5