Question

Нехай х0 = 2023, х1 = 3 і х n +1 = 2хn – 4xn-1 + 3 для всіх натуральних n. Знайти найбільше натуральне k для якого існує просте число p таке що число х2023 – 1 ділиться на pk

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$x_0=2023\\x_1=3\\x_{n+1}=2x_n-4x_{n-1}+3$

Рассмотрим общую формулу нашей последовательности.

Заметим, что $2x_n$ и $4x_{n-1}$ - это всегда четные числа вне зависимости от $x_n$ и $x_{n-1}$, поскольку произведение четного и нечетного чисел дают в результате четное число.

Раз эти два числа - четные, то и их разность будет так же четным числом.

Далее мы к какому-то четному числу прибавляем нечетное 3, значит в результате мы получим нечетное число.

Тогда можно сделать вывод, что абсолютно все числа данной последовательности являются нечетными.

Рассмотрим $x_{2023} - 1$. Из предыдущих рассуждений можно понять, что $x_{2023}$ - нечетное число. Из нечетного числа мы вычитаем нечетное, в результате получаем четное. Значит $x_{2023} - 1$ - четное число.

Любое четное число можно разложить на как минимум 2 простых множителя, одним из которых является число 2.

Тогда $x_{2023}-1=2*k$, где k - наибольшее натуральное число, для которого выполняются условия задачи.

$p = 2\\k = \frac{x_{2023}-1}{2}$

$x_{2023}$ - это очень огромное число, которое практически невозможно посчитать для человека. Однако я использовал мощь своего ПК и через рекурсию смог рассчитать k. Прикрепил скриншот с этим числом.