Question

СРОЧНО!!! ДАЮ 80 БАЛЛОВ​

Answer 1

Працював півтори години. буду вдячний за "Дякую" та "Найкращу Відповідь"

Пошаговое объяснение:

$(1+10^1+10^2+10^3+...+10^{2n})-(2+2*10^1+2*10^2+2*10^3+...+2*10^n)=x^2\\1+(10^1+10^2+10^3+...+10^{2n})-2-(2*10^1+2*10^2+2*10^3+...+2*10^n)=x^2\\(10^1+10^2+10^3+...+10^{2n})-(2*10^1+2*10^2+2*10^3+...+2*10^n)-1=x^2$

$10+10*10^1+10*10^2+...+10*10^{2n-1}$ - геометрична прогресія

$S_{n} =\frac{b_{1} (q^{n}-1)}{q-1}$

b1=10

q=10

n=2n-1

$S_{2n-1} =\frac{10(10^{2n-1}-1)}{10-1}=\frac{10^{2n}-10}{9}=\frac{(10^{2})^{n}-10}{9} =\frac{100^{n}-10}{9}$

$20+20*10^1+20*10^2+...+20*10^{n-1}$ - Геометрична прогресія

b1=20

q=10

n=n-1

$S_{n-1} =\frac{20(10^{n-1}-1)}{10-1} =\frac{2*10^{n} -20}{9}$

$\frac{(10^{2}) ^{n}-10}{9}-\frac{2*10^{n} -20}{9}-1=\frac{(10^{2})^{n}-2*10^{n}+10}{9} -1=\frac{((10^{n})^{2}-2*10^{n}+1)+9 }{9} -1=\frac{(10^{n}-1)^{2} +9}{9}-1=\frac{(10^{n}-1)^{2}}{9}+1-1=\frac{(10^{n}-1)^{2}}{9}=\frac{(10^n-1)^2}{3^2}=(\frac{10^n-1}{3} )^2$

$10^n-1=999...n...9\\\frac{10^n-1}{3} =\frac{999...n...9}{3} =333...n...3$

333...n...3 - натуральне, з чого випливає, що $(333...n...3)^2$ - квадрат натурального числа.