Предмет: Алгебра, автор: reygen

Пошагово найдите координаты A и B

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Artem112
1

Ответ:

A=(-1; -1); B=(0; 0)

Решение:

f(x;\ y)=x^3+y^3+3xy

Необходимое условие существования локального экстремума: равенство нулю частных производных.

Находим частные производные функции. Частная производная по какой-либо переменной находится в предположении, что все остальные переменные - константы.

\dfrac{\partial f}{\partial x} =(x^3+y^3+3xy)'_x=

=(x^3)'_x+(y^3)'_x+(3xy)'_x=3x^2+0+3y=3x^2+3y

\dfrac{\partial f}{\partial y} =(x^3+y^3+3xy)'_y=

=(x^3)'_y+(y^3)'_y+(3xy)'_y=0+3y^2+3x=3y^2+3x

Обе частные производные одновременно должны равняться нулю. Составим и решим систему:

\begin{cases} 3x^2+3y=0 \\ 3y^2+3x=0 \end{cases}

\begin{cases} x^2+y=0 \\ y^2+x=0 \end{cases}

Из первого уравнения выразим y:

y=-x^2

Подставим во второе уравнение:

(-x^2)^2+x=0

x^4+x=0

x(x^3+1)=0

Уравнение равносильно совокупности:

\left[\begin{array}{l} x=0 \\ x^3+1=0 \end{array}\right.

\left[\begin{array}{l} x=0 \\ x^3=-1 \end{array}\right.

\left[\begin{array}{l} x_1=0 \\ x_2=-1 \end{array}\right.

Тогда:

y_1=-x_1^2=-0^2=0

y_2=-x_2^2=-(-1)^2=-1

Таким образом, точки в которые выполнено необходимое условие существования локального экстремума:

(0;\ 0);\ (-1;\ -1)

Меньшую абсциссу имеет вторая точка, поэтому вторая точка - точка А, а первая точка - точка В:

\boxed{A=(-1;\ -1);\ B=(0;\ 0)}

Похожие вопросы