Question

Пошагово найдите координаты A и B

Answer 1

Ответ:

A=(-1; -1); B=(0; 0)

Решение:

$f(x;\ y)=x^3+y^3+3xy$

Необходимое условие существования локального экстремума: равенство нулю частных производных.

Находим частные производные функции. Частная производная по какой-либо переменной находится в предположении, что все остальные переменные - константы.

$\dfrac{\partial f}{\partial x} =(x^3+y^3+3xy)'_x=$

$=(x^3)'_x+(y^3)'_x+(3xy)'_x=3x^2+0+3y=3x^2+3y$

$\dfrac{\partial f}{\partial y} =(x^3+y^3+3xy)'_y=$

$=(x^3)'_y+(y^3)'_y+(3xy)'_y=0+3y^2+3x=3y^2+3x$

Обе частные производные одновременно должны равняться нулю. Составим и решим систему:

$\begin{cases} 3x^2+3y=0 \\ 3y^2+3x=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2+y=0 \\ y^2+x=0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$:

$y=-x^2$

Подставим во второе уравнение:

$(-x^2)^2+x=0$

$x^4+x=0$

$x(x^3+1)=0$

Уравнение равносильно совокупности:

$\left[\begin{array}{l} x=0 \\ x^3+1=0 \end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} x=0 \\ x^3=-1 \end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} x_1=0 \\ x_2=-1 \end{array}\right.$

Тогда:

$y_1=-x_1^2=-0^2=0$

$y_2=-x_2^2=-(-1)^2=-1$

Таким образом, точки в которые выполнено необходимое условие существования локального экстремума:

$(0;\ 0);\ (-1;\ -1)$

Меньшую абсциссу имеет вторая точка, поэтому вторая точка - точка А, а первая точка - точка В:

$\boxed{A=(-1;\ -1);\ B=(0;\ 0)}$