Question

Решить тригонометрическое уравнение:
5sin2x-12(six+cosx)+5=0

Answer 1

Ответ:

Тригонометрическое уравнение .

5 sin2x - 12 ( sinx + cosx ) + 5=0  

Сделаем замену :  $\bf t=sinx+cosx$  .

$\bf t^2=\underbrace{\bf sin^2x+cos^2x}_{1}+\underbrace{\bf 2\, sinx\cdot cosx}_{sin2x}=1+sin2x\ \ \Rightarrow \ \ sin2x=t^2-1\\\\5\cdot (t^2-1)-12\, t+5=0\\\\5t^2-12t=0\ \ \Rightarrow \ \ t\cdot (5t-12)=0\ \ ,\ \ t_1=0\ ,\ t_2=2,4$  

Обратная замена .

$\bf a)\ \ sinx+cosx=0\ \Big|\ :cosx\ne 0\\\\tgx+1=0\ \ ,\ \ tgx=-1\ \ ,\ \ x=-\dfrac{\pi }{4}+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ sinx+cosx=2,4\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \varnothing \ ,$  

так как  $\bf |sinx|\leq 1\ ,\ |cosx|\leq 1$  .  

Ответ:  $\bf x=-\dfrac{\pi }{4}+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z$   .