Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 6 см, а діагональний переріз є прямокутним трикутником
Ответы
Для знаходження об'єму правильної чотирикутної піраміди, спочатку нам необхідно знайти площу основи та висоту піраміди. Знаючи ці значення, ми зможемо обчислити об'єм піраміди за формулою V = (1/3) * S * h, де S - площа основи, а h - висота піраміди.
Для знаходження площі основи, яка є чотирикутником, можна уявити прямокутний трикутник, утворений діагональним перерізом, як 2 прямокутні трикутники. Застосуємо теорему Піфагора для знаходження довжини діагоналі:
a^2 + b^2 = c^2,
де a і b - катети прямокутного трикутника, а c - гіпотенуза (довжина діагоналі прямокутника).
Оскільки ми знаємо, що сторона основи чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, то можемо побачити, що катет або b мають довжину 6 см. Нехай один із катетів (назвемо його або b) рівний 6 см. Діагональ (c) є гіпотенузою прямокутного трикутника.
Застосовуючи теорему Піфагора, маємо:
6^2 + b^2 = c^2.
Зная, що прямокутний трикутник є пірамідальним трикутником, його катети можуть бути виражені через сторону основи піраміди (6 см) за коефіцієнтом sqrt(2):
b = 6 * sqrt(2).
Підставимо ці значення в формулу Піфагора:
6^2 + (6 * sqrt(2))^2 = c^2.
36 + 36 * 2 = c^2,
36 + 72 = c^2,
c^2 = 108.
Тому c = sqrt(108) ≈ 10,39 см.
Тепер, знаючи сторону основи (6 см) та діагональ (10,39 см), ми можемо розрахувати площу основи чотирикутної піраміди:
S = (1/2) * a * b,
S = (1/2) * 6 см * 10,39 см,
S ≈ 31,17 см^2.
Нарешті, для обчислення об'єму піраміди використовуємо формулу:
V = (1/3) * S * h.
Значення висоти (h) піраміди треба знайти окремо. У випадку правильної чотирикутної піраміди висота проходить через середину основи і перпендикулярна до неї.
Значення висоти залежатиме від рівномірної побудови піраміди та діагоналі основи.
Отже, якщо підпишемо точки на основі піраміди як A, B, C, D, а середина сторони як M, то висота піраміди (h) буде рівна відрізку, який з'єднує вершину піраміди з серединою основи (AM).
Так як діагональ проходить через середину основи прямокутника, AM буде також і прямою, яка перпендикулярна до сторони основи.
Отже, висоту можна знайти як півдовжину діагоналі піраміди (c):
h = c/2,
h = 10,39 см / 2,
h ≈ 5,20 см.
Тепер можемо обчислити об'єм піраміди:
V = (1/3) * S * h,
V = (1/3) * 31,17 см^2 * 5,20 см,
V ≈ 54,0 см^3.
Отже, об'єм правильної чотирикутної піраміди складає приблизно 54,0 см^3.