Question

Решите пожалуйста уравнение: log4(x-1)+log4(x+2)>=1​

Answer 1

Для розв'язання нерівності  $\(\log_4(x-1) + \log_4(x+2) \geq 1\)$, використаємо властивості логарифмів. Згадаймо, що $\(\log_b(A) + \log_b(B) = \log_b(A \cdot B)\).$

Отже, виразимо ліву частину нерівності через один логарифм:

$\[\log_4(x-1) + \log_4(x+2) = \log_4((x-1)(x+2))\]$

За умовою задачі, $\(\log_4((x-1)(x+2)) \geq 1\).$ Тепер переведемо логарифм в показник:

$\[4^1 \leq (x-1)(x+2)\]$

$\[4 \leq x^2 + x - 2\]$

$\[0 \leq x^2 + x - 6\]$

Тепер розв'яжемо квадратне рівняння:

$\[x^2 + x - 6 = 0\]$

Щоб розв'язати це квадратне рівняння, скористаємося формулою для дискримінанту $\(D = b^2 - 4ac\)$ і потім використаємо формули квадратного рівняння: $\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).$

У нашому випадку $\(a = 1\), \(b = 1\)$ і $\(c = -6\).$

$\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\]$

Отже, $\(D = 25\)$ і ми можемо знайти $\(x\):$

$\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}\]$

$\[x = \frac{-1 \pm 5}{2}\]$

Таким чином, маємо два корені:

1. $\(x = \frac{-1 + 5}{2} = 2\)$

2. $\(x = \frac{-1 - 5}{2} = -3\)$

Перевіримо ці значення в початковому нерівності, щоб визначити, які з них задовольняють початковій умові:

1. $\(x = 2\): \(\log_4(2-1) + \log_4(2+2) = \log_4(1) + \log_4(4) = 0 + 1 = 1 \geq 1\).$ Отже, $\(x = 2\)$ задовольняє умові нерівності.

2. $\(x = -3\):$ Враховуючи, що $\(\log_4(-3 - 1)\)$ не визначено для від'ємних чисел, це значення не підходить для виразу $\(x - 1\)$ в логарифмі. Отже, $\(x = -3\)$ не підходить для даної нерівності.

Отже, розв'язок цієї нерівності: $\(x \geq 2\).$