Question

Дано трикутник АВС такий, що АС = ВС, кут АСВ-90°, АВ = 10 см. Відрізок МС- перпендикуляр до площини АВС. Відстань від точки М до прямої АВ дорівнює 5Ѵ√3 см. Знайдіть кут між прямою АМ і площиною АВС

Answer 1

Даний трикутник АВС є прямокутним, бо кут АСВ дорівнює 90°.

Оскільки АС = ВС, то трикутник АВС є рівнобедреним. Це означає, що медіана, що проведена з вершини С до протилежного основи АВ, є висотою і бисектрисою. Оскільки трикутник прямокутний, медіана також є медіаною до гіпотенузи.

Ми знаємо, що відрізок МС є перпендикуляром до АВ і відстань від М до прямої АВ дорівнює 5√3 см. Це означає, що трікутник МСВ є прямокутним.

За пірамідою Піфагора, коли у прямокутному трикутнику квадрат довжини прилеглої сторони дорівнює сумі квадратів довжин інших двох сторін, отримаємо:

$\[\text{MC}^2 = \text{MB}^2 + \text{BC}^2\]$

Знаємо, що відрізок МС дорівнює 5√3, а ВС дорівнює половині гіпотенузи АВ (оскільки трикутник рівнобедрений), тобто ВС = 5 см.

Отже, підставимо відомі значення у рівняння:

$\[5\sqrt{3}^2 = \text{МВ}^2 + 5^2\]$

$\[75 = \text{MB}^2 + 25\]$

$\[\text{MB}^2 = 75 - 25 = 50\]$

$\[\text{MB} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]$

Тепер ми знаємо, що МВ дорівнює $\(5\sqrt{2}\)$ см.

Також, ми знаємо, що відстань від точки М до прямої АВ дорівнює 5√3 см, отже МВ = 5√3 см.

Знаючи значення МВ та ВС, ми можемо використати визначення тангенсу кута між прямою АМ і площиною АВС:

$\[\tan(\angle \text{МАВ}) = \frac{\text{ВС}}{\text{МВ}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} / 2\]$

Таким чином, $\(\angle \text{МАВ} = \arctan(\sqrt{2} / 2) ≈ 45^\circ\).$