Question

Визначте знак виразу
cos(13π/15)ctg(23π/18)​

Answer 1

$\cos \cfrac{13\pi}{15}=-\sin 66^{\circ}=-\sin (30^{\circ}+36^{\circ})=-\cfrac{1}{2}\cos 36^{\circ}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 36^{\circ}\\\\\cos 5x=\cos(3x+2x)=5\cos x-20\cos^3x+16\cos^5x\\\\x=36^{\circ}\Rightarrow 5\cos 36^{\circ}-2\cos^336^{\circ}+16\cos^536^{\circ}=-1\\\\5y-20y^3+16y^5+1=0\Leftrightarrow (y+1)\left ( -4y^2+2y+1 \right )^2=0$

$y=\cfrac{1}{4}+\cfrac{\sqrt{5}}{4}=\cos 36^{\circ}\Rightarrow \sin 36^{\circ}=\sqrt{1-\cos^236^{\circ}}=\sqrt{\cfrac{5}{8}-\cfrac{\sqrt{5}}{8}}\\-\sin 66^{\circ}=-\sin (30^{\circ}+36^{\circ})=-\cfrac{1}{2}\cos 36^{\circ}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 36^{\circ}=-\cfrac{1+\sqrt{5}+\sqrt{6\left ( 5-\sqrt{5} \right )}}{8}$

$\mathrm{ctg}\cfrac{23\pi}{18}=\mathrm{tg} 40^{\circ}\\\mathrm{tg} 3x=\cfrac{3\mathrm{tg} x-\mathrm{tg}^3x}{1-3\mathrm{tg}^2x}\\x=40^{\circ}\Rightarrow \cfrac{3\mathrm{tg} 40^{\circ}-\mathrm{tg}^340^{\circ}}{1-3\mathrm{tg}^240^{\circ}}=-\sqrt{3}$

Мы знаем, что число $\mathrm{tg}40^{\circ}$ является корнем уравнения $z^3+3\sqrt3z^2-3z-\sqrt3=0$ или $(z + \sqrt3)^3 - 12 (z + \sqrt3) + 8 \sqrt3 = 0$

$t=z + \sqrt3\Rightarrow t^3-12t+8\sqrt3=0\Rightarrow t=\cfrac{2}{\sqrt[3]{\cfrac{i - \sqrt3}{2}}} +\sqrt[3]{4i - 4\sqrt3}$

$\mathrm{ctg}\left ( \cfrac{23\pi}{18} \right )=\mathrm{tg}40^{\circ}= \left(-\sqrt3 + \cfrac{2}{\sqrt[3]{\cfrac{i - \sqrt3}{2}}} +\sqrt[3]{4i - 4\sqrt3}\right)$

Значит ответ будет

$\cfrac{1}{8}\left ( 1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}} \right )\left ( \sqrt{3}-\sqrt[3]{4i-4\sqrt{3}}-\cfrac{2}{\sqrt[3]{1/2\left ( i-\sqrt{3} \right )}} \right )$

Выажение будет отрицательным