Question

Дан прямоугольный треугольник. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 5 : 4, а высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки, один из которых на 18 больше другого.

Answer 1

Ответ:

Гипотенуза равна 82 ед.

Объяснение:

Дан прямоугольный треугольник. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 5 : 4, а высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки, один из которых на 18 больше другого.

Дано: ΔАВС - прямоугольный (∠В = 90°);

ВН - высота;

ВС : АВ = 5 : 4;   НС - АН = 18

Найти: АС

Решение:

ΔАВС - прямоугольный.

ВС : АВ = 5 : 4

Пусть АВ = 4х, тогда ВС = 5х.

• Теорема Пифагора:
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

⇒ АС² = АВ² + ВС² = 16х² + 25х² = 41х²   ⇒   АС = х√41

• Квадрат катета прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

$\displaystyle AB^2=AH\cdot AC\;\;\;\Rightarrow \;\;\;AH=\frac{16x^2}{x\sqrt{41} }=\frac{16x}{\sqrt{41} } \\\\ BC^2=HC\cdot AC\;\;\;\Rightarrow \;\;\;HC=\frac{25x^2}{x\sqrt{41} }=\frac{25x}{\sqrt{41} }$

НС - АН = 18 (условие)

$\displaystyle \frac{25x}{\sqrt{41} }-\frac{16x}{\sqrt{41} } =18\\\\9x=18\sqrt{41} \;\;\;|:9\\\\x=2\sqrt{41}$

AC = 2√41 · √41 = 82

Гипотенуза равна 82 ед.

#SPJ1