Question

Дана матрица
A=⎡⎣⎢−6−8888−6802⎤⎦⎥.

Выясните, какое из чисел λ=−6
или λ=1
является собственным числом матрицы А.
Найдите собственный вектор, отвечающий этому собственному числу.
Собственный вектор запишите в виде {p;−8;q}

В ответ введите числа p и q, разделив их точкой с запятой.

Answer 1

Для знаходження собственних чисел матриці A, потрібно розв'язати рівняння det(A - λI) = 0, де det позначає визначник, λ - собственне число, I - одинична матриця.

Матриця A - λI виглядає так:

A - λI =
[
−
6
−
�
8
8
8
8
−
�
8
8
8
−
6
−
�
]
⎣
⎡
​

−6−λ
8
8
​

8
8−λ
8
​

8
8
−6−λ
​

⎦
⎤
​
.

Треба знайти визначник цієї матриці та прирівняти його до нуля:

det(A - λI) =
∣
−
6
−
�
8
8
8
8
−
�
8
8
8
−
6
−
�
∣
=
0
∣
∣
​

−6−λ
8
8
​

8
8−λ
8
​

8
8
−6−λ
​

∣
∣
​
=0.

Після розв'язання отримаємо рівняння:

(
−
6
−
�
)
(
(
8
−
�
)
(
−
6
−
�
)
−
8
⋅
8
)
−
8
(
8
(
−
6
−
�
)
−
8
⋅
8
)
+
8
(
8
⋅
8
−
8
(
8
−
�
)
)
=
0
(−6−λ)((8−λ)(−6−λ)−8⋅8)−8(8(−6−λ)−8⋅8)+8(8⋅8−8(8−λ))=0.

Розв'язавши це рівняння, отримаємо λ = -6 або λ = 1. Таким чином, обидва числа є собственними числами матриці.

Тепер знайдемо відповідні собственні вектори.

Для λ = -6 система лінійних рівнянь (A - λI)v = 0 матиме вигляд:

[
−
6
+
6
8
8
8
8
+
6
8
8
8
−
6
+
6
]
[
�
−
8
�
]
=
[
0
0
0
]
⎣
⎡
​

−6+6
8
8
​

8
8+6
8
​

8
8
−6+6
​

⎦
⎤
​

⎣
⎡
​

p
−8
q
​

⎦
⎤
​
=
⎣
⎡
​

0
0
0
​

⎦
⎤
​
.

Отримаємо систему:

{
8
�
+
8
�
=
0
16
�
=
0
16
�
+
16
�
=
0
⎩
⎨
⎧
​

8p+8q=0
16q=0
16p+16q=0
​
.

Розв'язавши цю систему, отримаємо p = -1 і q = 0.

Отже, собственний вектор для λ = -6 - {p; -8; q} = {-1; -8; 0}.

Для λ = 1 система лінійних рівнянь матиме вигляд:

[
−
6
−
1
8
8
8
8
−
1
8
8
8
−
6
−
1
]
[
�
−
8
�
]
=
[
0
0
0
]
⎣
⎡
​

−6−1
8
8
​

8
8−1
8
​

8
8
−6−1
​

⎦
⎤
​

⎣
⎡
​

p
−8
q
​

⎦
⎤
​
=
⎣
⎡
​

0
0
0
​

⎦
⎤
​
.

Отримаємо систему:

{
−
7
�
+
8
�
=
0
7
�
=
0
7
�
+
8
�
=
0
⎩
⎨
⎧
​

−7p+8q=0
7q=0
7p+8q=0
​
.

Розв'язавши цю систему, отримаємо p = 8 і q = 0.

Отже, собственний вектор для λ = 1 - {p; -8; q} = {8; -8; 0}.

Узагальнено, обидва собственні вектори:

λ = -6: {-1; -8; 0}.
λ = 1: {8; -8; 0}.
Таким чином, відповіді: -1; -8; 0.