Question

Решите уравнения с помощью теоремы Безу

Answer 1

Ответ:

а) x = -2; 2; 3

б) x = -3; -1; 3

Объяснение:

• Т-ма Безу гласит о том, что если у нас имеется многочлен P(x), который без остатка делится на двучлен (x - a), то a будет являться корнем нашего исходного уравнения.
• Данную теорему можно интерпретировать в ином виде: если многочлен P(x) имеет корень a, то он будет без остатка делиться на (x - a).

В нашей задаче мы имеем два кубических уравнения, соответственно если мы сможем подобрать хотя-бы один рациональный корень, то сможем в итоге привести кубическое уравнение к квадратному, решать которое мы умеем.

• Т-ма о рациональный корнях гласит, что если у нас имеется многочлен с рациональными корнями вида $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$, то каждый рациональный корень можно представить в виде $x = \frac{p}{q}$, где p - делитель свободного члена a₀, q - делитель старшего коэффициента aₙ.
• В частном случае при aₙ = 1, рациональные корни нашего уравнения можно находить только при делителях свободного члена, то есть $x = p$.

Попробуем подбирать корни к каждому уравнению согласно этой теореме.

а)

$x^3-3x^2-4x+12=0$

Здесь старший коэффициент aₙ = 1, а свободный коэффициент a₀ = 12. Найдем делители свободного коэффициента:

12 имеет следующие делители: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

Будем подбирать корни:

x = 1 (не подходит)

x = -1 (не подходит)

x = 2 (подходит)

Мы выяснили, что наше уравнение имеет как минимум один рациональный корень x = 2, поскольку при подстановке в исходное уравнение мы получаем верное равенство:

$2^3-3*2^2-4*2+12=0\\8 - 12 - 8 + 12 = 0\\0 = 0$

Теперь поделим наш исходный многочлен на двучлен (x - 2) в столбик(смотреть прикрепленную картинку) и получим в итоге следующее разложение:

$x^3-3x^2-4x+12=(x-2)(x^2-x-6)$

Корень x = 2 мы уже нашли, тогда найдем два других корня, решив квадратное уравнение:

$x^2-x-6=0\\x_{1,2} = \frac{1+-\sqrt{1+24} }{2} =\frac{1+-5}{2} =(3;-2)$

Мы нашли еще два рациональных корня, а значит что наше исходное уравнение имеет три корня $\fbox{x=\ -2;\ 2;\ 3}$

б)

$x^3+x^2-9x-9=0$

Делители 9: ±1, ±3, ±9

Подбираем корни:

x = 1 (не подходит)

x = -1 (подходит)

Делим исходный многочлен на двучлен (x - (-1)) = (x + 1) и получаем следующее разложение:

$x^3+x^2-9x-9 = (x+1)(x^2-9)$

Решаем квадратное уравнение:

$x^2 - 9 =0\\(x-3)(x+3)=0\\x=\ -3;\ 3$

Наше исходное уравнение имеет три корня $\fbox{x=\ -3;\ -1;\ 3}$