Question

Доведіть, що при всіх нах п значення виразу 2n³ +6n²+4n ділиться націло на 6.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$2n^3+6n^2+4n=2n(n^2+3n+2)$

• Если число делится нацело одновременно и на 2, и на 3, то оно делится нацело на 6.

Очевидно, что число выше делится на 2. Тогда нам осталось доказать, что $n(n^2+3n+2)$ делится на 3 при любых натуральных n.

1) Предположим, что n делится нацело на 3. Тогда $n(n^2+3n+2)$ так же будет делиться нацело на 3, а значит, что исходное число делится нацело на 6.

2) Предположим, что n не делится нацело на 3. Тогда $n^2+3n+2$ должно делиться нацело на 3. Воспользуемся некоторым свойством делимости на 3:

Если $n^2$ не делится нацело на 3, то $n^2-1=(n-1)(n+1)$ делится нацело на 3, поскольку хотя бы одно из чисел (n - 1) или (n + 1) делится на 3.

Тогда преобразуем наше выражение выше к виду:

$n^2+3n+2=(n^2-1)+1+3n+2=(n^2-1)+3n+3$

Каждый член суммы делится на 3, а значит и вся сумма будет делиться на 3. Соответственно изначальное выражение делится нацело на 6.

ДОКАЗАНО!!!