Question

Точка перетину медіан трикутника рівновіддалена від його вершин. Доведіть, що цей трикутник рівносторонній.

Answer 1

Нехай точка перетину медіан трикутника O є центром ваги трикутника. Тоді, згідно з теоремою про центр ваги трикутника, кожна медіана ділить його на дві рівні частини.Точка перетину медіан трикутника є центром ваги трикутника Таким чином, відстань від точки O до будь-якої з вершин трикутника дорівнює половині довжини сторони трикутника.Нехай трикутник має сторони a, b і c. Тоді відстань від точки O до вершини A дорівнює a/2. Аналогічно, відстань від точки O до вершин B і C дорівнює b/2 і c/2 відповідно.Оскільки кожна з цих відстаней дорівнює половині довжини сторони, то всі три сторони трикутника рівні. Отже, трикутник рівносторонній.Це доведення можна також сформулювати так:Нехай точки перетину медіан трикутника A, B і C. Тоді, згідно з теоремою про центр ваги трикутника, A, B і C є центрами мас трикутників AOB, BOC і COA відповідно.Отже, точки A, B і C рівні по масі.З іншого боку, оскільки трикутники AOB, BOC і COA рівні по площі, то вони рівні і по периметру.Оскільки периметр трикутника дорівнює сумі його сторін, то a = b = c. Отже, трикутник рівносторонній.