Очень срочно даю 100 балов
5. Петрик та Василь грають у гру з записаними числами на дошці. За один хід, розпочинає Петрик, гравець вибирає два взаємно прості числа, що записані на дошці, витирає їх, і записує замість них їхню суму. Той, хто не може зробити ходу – програє. З’ясуйте, хто переможе при правильній грі, якщо з самого початку на дошці записані 2024 цифр 1?
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Початкова кількість цифр 1 на дошці - 2024. Ці числа взаємно прості, оскільки всі вони рівні 1
Кожен хід полягає в обранні двох взаємно простих чисел, що записані на дошці, і їхній суми. Замість обраних чисел на дошці записується їхня сума
Один із способів розв'язку цієї задачі полягає в замітанні чисел Фібоначчі. Кожен наступний член послідовності Фібоначчі є сумою двох попередніх
2024 - це 4 * 506. Ми можемо поділити всі числа на дошці на пари, де кожна пара складається з двох суміжних чисел Фібоначчі. Тоді після кожного ходу ми отримаємо новий член послідовності Фібоначчі
Оскільки 506 - це парне число, то останнім ходом переможець буде той, хто обере числа 1 і 505. Після цього на дошці залишиться лише число 506, і інший гравець не матиме можливості зробити хід
Отже, якщо обидва гравці грають оптимально, перемагає той, хто робить останній хід. У цьому випадку, переможець - Петрик.