Question

В выпускном альбоме с фотографиями будет 12 страниц. На страницах альбома требуется поместить четыре общие фотографии класса, причём на странице не может быть более одной общей фотографии. Сколькими способами можно расположить в альбоме общие фотографии?

Answer 1

Представим имеется 4 общие фотографии класса и 3 промежутка, где можно разместить остальные фотографии. Получаем последовательность из общих фотографий и промежутков: Ф - П - Ф - П - Ф - П - Ф, где Ф общая фотография, а П - промежуток между фотографиями.

Переставив эти элементы, мы получим все варианты размещения фотографий в альбоме. Так как каждый элемент (фотография или промежуток)

уникален, то количество перестановок будет равно факториалу от общего количества элементов.

Имеем 7 элементов (4 фотографии и 3 промежутка), поэтому количество возможных перестановок будет равно 7!=7*6*5*4*3*2*1 = 5040.

Однако в задаче указано, что на одной странице альбома не может быть более одной общей фотографии. Это означает, что фотографии не могут быть расположены рядом друг с другом.Чтобы учесть это условие, нужно разделить общее количество перестановок на количество способов разместить фотографии рядом друг с другом.

Посчитаем количество способов разместить фотографии рядом друг с другом, используя перестановки:

В данном случае у нас есть 4 фотографии, которые должны быть расположены рядом друг с другом. Мы можем рассматривать эту группу фотографий как одно целое. Тогда у нас будет 4! вариантов размещения этой группы в промежутках. Внутри этой группы фотографий фотографии можно переставлять между собой, поэтому количество вариантов размещения фотографий внутри группы будет также равно 4!.

Используем формулу для перестановок с повторениями:

n! / (n1! * n2! * * nk!), где и общее количество элементов, а n1, n2, ..., nk - количество повторений каждого элемента.

Для нашей группы из 4 фотографий получаем 4!, а для остальных элементов (промежутков) получаем 3! каждый, так как у нас 3 промежутка.

Поэтому количество способов разместить фотографии рядом друг с другом будет равно 4! * 3! * 3! * 3! = 24* 6*6*65184.

Теперь разделим общее количество перестановок на количество способов разместить фотографии рядом друг с другом:

5040/5184 = 0.9722 (округленно до 4 знаков после запятой).

Таким образом, в альбоме можно расположить общие фотографии примерно 0.9722*100%= 97.22% способами.