Усі сторони рівнобічної трапеції дотикаються до сфери радіуса 10 см. Знайдіть відстань від центра сфери до площини трапеції, якщо бічна сторона трапеції дорівнює 20 см, а її основи відносяться як 3:5
Ответы
Ответ:
Задача включає геометричні та тригонометричні аспекти. Давайте позначимо дані:
- Радіус сфери: \( R = 10 \) см
- Бічна сторона трапеції: \( a = 20 \) см
- Відношення основ трапеції: \( b:c = 3:5 \)
Ми можемо знайти основи трапеції, позначивши їх через \( b \) та \( c \):
\[ b = \frac{3}{8}a \]
\[ c = \frac{5}{8}a \]
Тепер ми можемо побачити, що відстань від центра сфери до середини бічної сторони трапеції може бути поділена на дві частини: одна частина дорівнює половині бічної сторони, а інша - відстань від середини бічної сторони до центра сфери.
\[ h = \frac{1}{2}a + d \]
Тепер використаємо теорему Піфагора для трапеції та п'ятикутника:
\[ d^2 + R^2 = \left(\frac{c-b}{2}\right)^2 + h^2 \]
\[ h^2 = \left(\frac{c-b}{2}\right)^2 + R^2 - d^2 \]
Замінимо значення \( b \), \( c \), і \( R \):
\[ h^2 = \left(\frac{5a}{8} - \frac{3a}{8}\right)^2 + 10^2 - \left(\frac{1}{2}a\right)^2 \]
Після спрощення виразу ми отримаємо \( h \). Вставимо це значення в рівняння для \( d \):
\[ d = h - \frac{1}{2}a \]
Обчислимо це для отримання відповіді.