Question

Помогите пожалуйста. 30 балов!

Answer 1

Решение .

Если точка  $\bf \tilde{A}(x_1;y_1)$ - середина отрезка ВС , то её координаты равны

$\bf x_1=\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2}\ \ ,\ \ y_1=\dfrac{y_{B}+y_{C}}{2}$   .        

Аналогично для точек  $\bf \tilde{B}(x_2;y_2)$   и   $\bf \tilde{C}(x_3;y_3)$:  

$\bf x_2=\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}\ \ ,\ \ x_3=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\ \ ,\ \ y_2=\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}\ \ ,\ \ y_3=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}$   .

Составим систему уравнений  для нахождения координат  "х" .

$\left\{\begin{array}{lll}\bf 2x_1=x_{B}+x_{C}\\\bf 2x_2=x_{A}+x_{C}\\\bf 2x_3=x_{A}+x_{B}\end{array}\right$  

Сложим все три уравнения системы , получим

$\bf 2\, (x_1+x_2+x_3)=2\, (x_{A}+x_{B}+x_{C})\ \ \Rightarrow \\\\x_1+x_2+x_3=x_{A}+x_{B}+x_{C}$  

Причём , надо помнить, что слева записано число ,  то есть

$\bf x_1+x_2+x_3=const$  .  Обозначим  $\bf C^*=x_1+x_2+x_3$  . Тогда

$\bf x_{A}+x_{B}+x_{C}=C^*$

Заметим, что  

$\bf x_{A}+x_{B}=C^*-x_{C}\ \ ,\ \ x_{B}+x_{C}=C^*-x_{A}\ \ ,\ \ x_{A}+x_{C}=C^*-x_{B}$  .

Тогда систему можно переписать так :

$\left\{\begin{array}{lll}\bf 2x_1=C^*-x_{A}\\\bf 2x_2=C^*-x_{B}\\\bf 2x_3=C^*-x_{C}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}\bf x_{A}=C^*-2x_{1}\\\bf x_{B}=C^*-2x_{2}\\\bf x_{C}=C^*-2x_{3}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}\bf x_{A}=x_1+x_2+x_3-2x_{1}\\\bf x_{B}=x_1+x_2+x_3-2x_{2}\\\bf x_{C}=x_1+x_2+x_3-2x_{3}\end{array}\right$  

$\left\{\begin{array}{lll}\bf x_{A}=x_2+x_3-x_{1}\\\bf x_{B}=x_1+x_3-x_{2}\\\bf x_{C}=x_1+x_2-x_{3}\end{array}\right$      

Из аналогичной системы найдём значения ординат точек А, В, С . Получим

$\left\{\begin{array}{lll}\bf 2y_1=y_{B}+y_{C}\\\bf 2y_2=y_{A}+y_{C}\\\bf 2y_3=y_{A}+y_{B}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}\bf y_{A}=C^*-2y_{1}\\\bf y_{B}=C^*-2y_{2}\\\bf y_{C}=C^*-2y_{3}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}\bf y_{A}=y_2+y_3-y_{1}\\\bf y_{B}=y_1+y_3-y_{2}\\\bf y_{C}=y_1+y_2-y_{3}\end{array}\right$

Координаты вершин треугольника :

$\bf A(\ x_2+x_3-x_1\ ;\ y_2+y_3-y_1\ )\ ,\ B(\ x_1+x_3-x_2\ ;\ y_1+y_3-y_2\ )\ ,\\\\C(\ x_1+x_2-x_3\ ;\ y_1+y_2-y_3\ )$