Question

3. Тенсiздiктi шешiнiз: a) 5cos2x-8cosx + 3 ≥ 0​

Answer 1

Ответ:

Решить неравенство .  Применим формулу косинуса двойного угла .

$\bf 5\ cos2x-8\ cosx+3\geq 0\\\\5\, (2\ cos^2x-1)-8\ cosx+3\geq 0\\\\10\ cos^2x-8\ cosx-2\geq 0\\\\5\ cos^2x-4\ cosx-1\geq 0$  

Замена :  t = cosx ,  -1 ≤ t ≤ 1  .

$\bf 5\, t^2-4\, t-1\geq 0\\\\D=b^2-4ac=4^2+4\cdot 5=36=6^2\ \ ,\\\\t_1=\dfrac{4-6}{10}=-0,2\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{4+6}{10}=1\\\\5(t+0,2)(t-1)\geq 0\ \ ,\ \ \ [-1]+++[-0,2\, ]---[\ 1\ ]\\\\-1\leq \, t\, \leq -0,2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ -1\leq cosx\leq -0,2\ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ cosx=1$  

Двойное неравенство равносильно системе :  

$\bf a)\ \left\{\begin{array}{l}\bf cosx\geq -1\\\bf cosx\leq -0,2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x\in R\\\bf arccos(-0,2)+2\pi n\leq x\leq 2\pi -arccos\, 0,2+2\pi n\, ,n\in Z\end{array}\right\\\\\\\bf \pi -arccos\, 0,2+2\pi n\leq x\leq 2\pi -arccos\, 0,2+2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ cosx=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=2\pi n\ ,\ \ n\in Z\\\\Otvet:\ \bf x\in [\, \pi -arccos\, 0,2+2\pi n\ ;\ 2\pi -arccos\, 0,2+2\pi n\, ]\cup \{\ 2\pi n\, \}\, ,n\in Z$