Доведіть, що коли діагоналі перпендику- чотирикутника лярні, то середини його сто- рін є вершинами прямокут- ника.
Ответы
Ответ:
Розглянемо чотирикутник ABCD з перпендикулярними діагоналями AC і BD, де M і N - середини відповідних сторін AB і CD.
1. З означення середини відомо, що AM = MB і CN = ND.
2. Розглянемо трикутники AMC і BMD. Вони мають спільну сторону MC = MD і паралельні сторони AM і BD (оскільки AM || BD).
3. За теоремою про бічні сторони та кутові сторони паралелограму, трикутники AMC і BMD еквівалентні.
4. Отже, кути AMC і BMD рівні.
5. Аналогічно, розглянемо трикутники BNC і ANC. Вони також еквівалентні.
6. З цього випливає, що кути BNC і ANC рівні.
7. Отже, кути AMC, BMD, BNC і ANC всі рівні між собою.
8. З цього випливає, що чотирикутник ABCD - прямокутник.
9. Також, середини сторін чотирикутника ABCD - це вершини прямокутника, оскільки вони з'єднані діагоналями, які є її діагоналями.
Отже, коли діагоналі перпендикулярного чотирикутника лярні, то середини його сторін є вершинами прямокутника.