Question

Из Точки A, не лежащей на окружности, проведены касательная АВ и секущая АР, которая пересекает окружность в точках К и Р, начиная от точки А.Найти АР и АК, если АК:АР=1:4, АВ=14 см

Answer 1

Для решения задачи воспользуемся свойством касательной и секущей: при пересечении с окружностью произведение отрезков секущей равно квадрату расстояния от точки пересечения до центра окружности. Обозначим расстояние от точки А до центра окружности как R.

Тогда, по свойству:

АК * (АК + АР) = АВ^2 + R^2

Заменим АК на 1/5 АР, используя условие задачи:

(1/5 АР) * (6/5 АР) = 14^2 + R^2

6/25 АР^2 = 196 + R^2

АР^2 = (25/6) * (196 + R^2)

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АКР:

АК^2 + АР^2 = РК^2

Заменим АК на 1/5 АР и АР^2 на выражение, полученное выше:

(1/25 АР^2) * АР^2 + АР^2 = РК^2

26/25 АР^2 = РК^2

АР = √(25/26 * РК^2)

Таким образом, мы получили выражения для АР и АК через R и РК, которые мы не знаем. Однако, мы можем заметить, что треугольник АРК подобен треугольнику АВК, так как угол АКР является прямым (касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке пересечения). Поэтому:

АК/АВ = АР/РК

Заменим АК на 1/5 АР и АВ на 14:

1/5 * АР / 14 = АР/РК

РК = 70/3 * АР

Теперь мы можем заменить РК в выражении для АР:

АР = √(25/26 * (70/3 * АР)^2)

АР = 35/3 * √(5/13)

АК = 1/5 * АР = 7/3 * √(5/13)

Таким образом, мы получили ответ: АР ≈ 6.45 см, АК ≈ 3.00 см.