Задание 4. Действительные ненулевые числа а и b таковы, что квадратный трёхчлен P(x) = ax² - 20ax + b имеет два действительных корня, отличающихся на 2. (а) Найдите меньший из этих корней. (б) Найдите b/a.
Ответы
Ответ:
Для начала заметим, что если \(P(x)\) имеет два действительных корня, то дискриминант этого квадратного трёхчлена должен быть положительным. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного трёхчлена \(P(x) = ax^2 - 20ax + b\).
Мы знаем, что корни отличаются на 2, поэтому можно записать, что:
\[\Delta x = \sqrt{D} = \sqrt{b^2 - 4ac} = 2\]
Теперь рассмотрим уравнение:
\[b^2 - 4ac = 4\]
Учитывая, что \(a\) и \(b\) ненулевые, давайте разделим это уравнение на \(a\):
\[\frac{b^2}{a} - 4 \cdot \frac{b}{a}c = 4\]
Теперь перепишем это уравнение, используя обозначение \(\frac{b}{a}\) как \(k\):
\[k^2 - 4kc = 4\]
\[k^2 - 4kc - 4 = 0\]
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(k\), и мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти значения \(k\). Решение этого уравнения даст нам два значения \(k\), и мы сможем использовать их для нахождения \(b/a\).
Таким образом:
\[(k - x_1)(k - x_2) = 0\]
где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного уравнения \(k^2 - 4kc - 4 = 0\).
Решение этого уравнения даст нам значения \(k_1\) и \(k_2\), и мы можем выбрать меньшее из них для (а) и использовать их для нахождения \(b/a\) в (б).