Question

3. Три числа, из которых третье равно 28, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 28 взять 21, то эти числа составят арифметическую прогрессию. Найдите [4] эти числа.СРОЧНРООО​

Answer 1

Ответ:

Первые два числа соответственно равны либо 63 и 42, либо 7 и 14.

Решение:

Обозначим первое и второе число $x$ и $y$ соответственно.

Тогда, тройка чисел (x; y; 28) образует геометрическую прогрессию. Используя характеристическое свойство геометрической прогрессии, запишем:

$y^2=x\cdot 28$

В свою очередь тройка чисел (x; y; 21) образует арифметическую прогрессию. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, запишем:

$y=\dfrac{x+21}{2}$

Объединим полученные уравнения в систему и решим ее:

$\begin{cases} y^2=x\cdot 28\\ y=\dfrac{x+21}{2}\end{cases}$

Подставим выражение для $y$ в первое уравнение:

$\left(\dfrac{x+21}{2}\right)^2=28x$

$\dfrac{x^2+42x+441}{4}=28x$

$x^2+42x+441=4\cdot28x$

$x^2+42x+441=112x$

$x^2-70x+441=0$

$D_1=(-35)^2-1\cdot441=1225-441=784$

$x_1=35+\sqrt{784} =35+28=63$

$x_2=35-\sqrt{784} =35-28=7$

Находим значения $y$:

$y_1=\dfrac{x_1+21}{2} =\dfrac{63+21}{2} =42$

$y_1=\dfrac{x_2+21}{2} =\dfrac{7+21}{2} =14$

Таким образом, либо первые два числа соответственно равны 63 и 42, либо 7 и 14.

Элементы теории:

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен полусумме предыдущего и последующего членов:

$a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Характеристическое свойство геометрической прогрессии: Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$