Знайти масу тягаря, який коливається на пружині жорсткістю 0,5 кН/м, якщо при амплітуді коливань 6 см він має максимальну швидкість 3 м/с. Яка частота коливань? Написати рівняння цього коливання, якщо тягар почав коливатися з положення рівноваги і здійснює гармонічні коливання.
Ответы
формула для періоду коливань пружини:
T = 2π√(m/k),
де T - період коливань, m - маса тягаря, k - жорсткість пружини.
Ми знаємо, що амплітуда коливань (A) дорівнює 6 см, а максимальна швидкість (v_max) - 3 м/с.
Амплітуда коливань пов'язана з максимальною швидкістю формулою:
v_max = 2πA/T.
З цих двох формул можна вивести формулу для маси тягаря:
m = (v_max^2 * k) / (4π^2),
де v_max - максимальна швидкість, k - жорсткість пружини.
Знаючи жорсткість пружини k = 0,5 кН/м (або 500 Н/м) та максимальну швидкість v_max = 3 м/с, ми можемо обчислити масу тягаря:
m = (3^2 * 500) / (4π^2) ≈ 0,716 кг.
Тепер, щоб знайти частоту коливань (f), ми можемо скористатися формулою:
f = 1/T,
де T - період коливань.
Знаючи період коливань T, ми можемо обчислити частоту коливань:
f = 1 / T = 1 / (2π√(m/k)).
f = 1 / (2π√(0,716 / 500)) ≈ 1,18 Гц.
Тепер, щоб написати рівняння гармонічних коливань тягаря, який почав коливатися з положення рівноваги, ми можемо використати загальну формулу:
x(t) = A * cos(2πft),
де x(t) - відхилення тягаря від положення рівноваги в момент часу t, A - амплітуда коливань, f - частота коливань, t - час.
Отже, рівняння коливань тягаря буде:
x(t) = 0,06 * cos(2π * 1,18 * t).
Це рівняння описує гармонічні коливання тягаря на пружині з заданою жорсткістю та масою, починаючи з положення рівноваги.