Question

Обчислити інтеграл наближено ........ .

Answer 1

Ответ:

I ≈ 1.0909

Объяснение:

разложим подынтегральное выражение в ряд

Используем частный случай биномиального разложения:

$\displaystyle \sqrt{1+\alpha } =1+\frac{1}{2} \alpha -\frac{1}{2*4} \alpha ^2+\frac{1*3}{2*4*6} \alpha ^3-...$

$\displaystyle \alpha =x^4\\\\\\\sqrt{1+x^4} =1+\frac{1}{2} x^4-\frac{1}{8} x^8+\frac{1}{16} x^{12}+...$

Теперь просчитаем приближенно интеграл

$\displaystyle I\approx \int\limits^0_1{1} \, dx +\frac{1}{2} \int\limits^1_0 {x^4} \, dx -\frac{1}{8} \int\limits^1_0 {x^8} \, dx +\frac{1}{16} \int\limits^1_0 {x^{12}} \, dx$

$\displaystyle I \approx x\bigg|_0^1+\frac{1}{2} *\frac{x^5}{5} \bigg|_0^1-\frac{1}{8}*\frac{x^9}{9} \bigg|_0^1+\frac{1}{16} *\frac{x^{13}}{13} \bigg|_0^1$

$\displaystyle I \approx 1+\frac{1}{10} -\frac{1}{72} +\frac{1}{208} \\\\\\I \approx \frac{10211}{9360} \approx 1.0909$